Формула Спірмена–Брауна: надійність тесту, метод розщеплення та застосування
Формула Спірмена–Брауна — це психометрична формула, яка показує, як за певних припущень змінюється надійність вимірювання, коли тест або серію паралельних вимірювань подовжують чи скорочують. Її також використовують у методі розщеплення тесту, коли кореляцію між двома половинами потрібно перерахувати в оцінку надійності повного тесту.
Формула названа на честь Чарльза Спірмена і Вільяма Брауна. Важлива історична деталь: вони не були співавторами однієї статті. У 1910 році Спірмен і Браун опублікували окремі роботи в тому самому випуску British Journal of Psychology, причому стаття Брауна йшла одразу після статті Спірмена. Обидві роботи містили виведення залежності між кількістю вимірювань і надійністю.
Що таке формула Спірмена–Брауна
У найпоширенішому сучасному записі формула має вигляд:
r_new = (k × r_old) / [1 + (k − 1) × r_old]
де:
r_old — початкова оцінка надійності;
r_new — прогнозована надійність після зміни довжини або кількості порівнюваних вимірювань;
k — відношення нової довжини до початкової.
Якщо тест подвоюють, k = 2. Якщо його збільшують утричі, k = 3. Якщо залишають половину початкової довжини, k = 0,5.
Слово «прогнозована» тут принципове. Формула не гарантує, що реальний тест після механічного додавання завдань матиме саме таку надійність. Вона описує очікувану зміну за моделлю, у якій додані компоненти достатньо порівнювані з початковими.
Приклад: що буде, якщо подвоїти тест
Нехай надійність початкової версії тесту дорівнює 0,60. Ми хочемо оцінити, якою вона буде після подвоєння кількості порівнюваних завдань.
Тоді k = 2:
r_new = [2 × 0,60] / [1 + (2 − 1) × 0,60] = 0,75
За умов моделі подвоєння тесту підвищує очікувану надійність з 0,60 до 0,75.
Якщо початкова надійність уже дорівнює 0,70, те саме подвоєння дає приблизно 0,82. Але приріст не є лінійним: додавання ще більшої кількості завдань поступово дає дедалі менший виграш.
Це одна з важливих властивостей формули. Надійність може наближатися до 1, але не зростає на однакову величину щоразу, коли тест подовжують.
Формула працює і для скорочення тесту
Формула Спірмена–Брауна не обмежується подовженням. Якщо 0 < k < 1, можна оцінити наслідки скорочення.
Наприклад, тест має надійність 0,80, але його скорочують удвічі. Тоді k = 0,5:
r_new = [0,5 × 0,80] / [1 + (0,5 − 1) × 0,80] ≈ 0,67
За моделлю скорочення наполовину знижує очікувану надійність приблизно до 0,67.
Практично це корисно під час розроблення коротких версій шкал. Проте розрахунок не замінює нового психометричного дослідження скороченої форми: видалення завдань може змінити не лише надійність, а й змістове покриття конструкта, факторну структуру та валідність.
Як визначити, наскільки треба збільшити тест
Формулу можна перетворити й розв’язати відносно k. Якщо відомі початкова надійність і бажаний рівень, використовують:
k = [r_target × (1 − r_old)] / [r_old × (1 − r_target)]
Наприклад, початкова надійність дорівнює 0,80, а бажана — 0,90:
k = [0,90 × (1 − 0,80)] / [0,80 × (1 − 0,90)] = 2,25
Отже, за припущеннями моделі довжину потрібно збільшити приблизно у 2,25 раза. Якщо початкова форма містить 20 порівнюваних завдань, математичний прогноз відповідає приблизно 45 завданням.
Це не означає, що будь-які додаткові 25 завдань автоматично дадуть надійність 0,90. Нові завдання мають вимірювати той самий конструкт у сумісний спосіб і мати психометричні властивості, які не руйнують модель.
Метод розщеплення тесту
Одне з найвідоміших застосувань формули — метод розщеплення тесту (англ. split-half). Завдання вже проведеного тесту ділять на дві частини, для кожного учасника обчислюють два бали, а потім визначають кореляцію між ними.
Якщо дві половини можна розглядати як класично паралельні, кореляція між половинами описує надійність тесту половинної довжини. Щоб оцінити надійність повного тесту, для подвоєння використовують спеціальний випадок формули:
r_SB = 2r_12 / (1 + r_12)
Якщо кореляція половин становить 0,60:
r_SB = [2 × 0,60] / (1 + 0,60) = 0,75
Тобто 0,60 — це не фінальна оцінка надійності повного тесту. За відповідної моделі після поправки Спірмена–Брауна вона дорівнює 0,75.
Чому спосіб поділу тесту має значення
На практиці один і той самий тест можна розділити багатьма способами: перша половина проти другої, непарні завдання проти парних, випадковий поділ тощо. Ці варіанти можуть давати різні кореляції.
Якщо, наприклад, перша половина тесту містить переважно прості завдання, а друга — складні, вони можуть відрізнятися за дисперсією, середнім рівнем або іншими властивостями. Тоді стандартне припущення про паралельність половин порушується.
Саме тому одна випадково обрана оцінка за методом розщеплення не є універсальною характеристикою тесту. Дослідник має пояснити, як саме утворено половини й чому цей поділ змістовно та психометрично виправданий.
Методологічна робота Леонарда Фелдта і Річарда Чартера показує: якщо половини класично паралельні, формула Спірмена–Брауна є відповідним перерахунком; за інших моделей еквівалентності можуть бути доречнішими інші коефіцієнти.
Які припущення стоять за формулою
Формулу інколи подають як суто арифметичний трюк: «додали завдань — підставили k — отримали нову надійність». Для реальної психометрії цього недостатньо.
Класичне застосування передбачає, що додані вимірювання або частини тесту достатньо подібні за тим, що і як вони вимірюють. У простій моделі йдеться про паралельні компоненти: вони мають однаковий істинний бал і однакову дисперсію похибки.
Сучасна теорія показує, що зв’язок Спірмена–Брауна може виникати і за ширших умов. Зокрема, новіші роботи демонструють асимптотичне наближення надійності до закону Спірмена–Брауна для значно загальніших випадків випадкового добору завдань. Але з цього не випливає, що точний прогноз можна без перевірки застосовувати до будь-якого конкретного скінченного тесту.
Для прикладної роботи безпечніше запитати:
чи вимірюють нові завдання той самий конструкт;
чи зберігається спосіб оцінювання;
чи порівнювані психометричні властивості нових і старих завдань;
чи не змінюється структура тесту після подовження або скорочення;
чи відповідає модель надійності реальній структурі даних.
Що робити, якщо половини не є паралельними
Якщо дві половини відрізняються за стандартними відхиленнями, складністю або іншими параметрами, проста формула 2r/(1+r) може не відповідати потрібній моделі.
Для тау-еквівалентних, але не паралельних половин часто розглядають двокомпонентний коефіцієнт альфа. Для конгенеричних частин або нерівної функціональної довжини існують інші підходи, зокрема коефіцієнт Ангоффа–Фелдта.
Головний принцип тут не в тому, щоб запам’ятати якомога більше назв. Спочатку потрібно зрозуміти, які припущення про дві частини тесту справді виконуються, і лише після цього обирати формулу.
Формула Спірмена–Брауна і альфа Кронбаха
Формулу Спірмена–Брауна та альфу Кронбаха часто згадують поруч, бо обидві стосуються внутрішньої надійності багатокомпонентних вимірювань. Але це не взаємозамінні назви одного методу.
Альфа Кронбаха, запропонована Лі Кронбахом у 1951 році, узагальнила попередню логіку внутрішньої узгодженості. В історичному сенсі Кронбах показував зв’язок альфи з множиною можливих поділів тесту на частини.
Звідси не випливає, що альфа завжди «краща» за Спірмена–Брауна. Якщо дослідження має саме дві змістовно виправдані паралельні частини, поправка Спірмена–Брауна може бути природною. Якщо ж аналізують багатокомпонентну шкалу загалом, постає інше завдання і можуть бути потрібні альфа, омега або модельні оцінки надійності.
Так само висока альфа сама по собі не доводить, що шкала одномірна, валідна або добре сконструйована.
Це не коефіцієнт кореляції Спірмена
Назва легко вводить в оману. Формула Спірмена–Брауна і коефіцієнт рангової кореляції Спірмена — різні методи.
Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена, або ρₛ, вимірює силу та напрямок монотонного зв’язку між двома ранжованими змінними.
Формула Спірмена–Брауна працює з оцінкою надійності й коефіцієнтом зміни довжини або кількості порівнюваних вимірювань. У класичному методі розщеплення кореляція між балами двох половин зазвичай є звичайною кореляцією кількісних балів, а не ρₛ лише через те, що в обох назвах присутнє прізвище Спірмена.
Тому фраза «ми порахували Спірмена–Брауна» не повинна означати «ми використали рангову кореляцію Спірмена».
Надійність не дорівнює валідності
Ще одна типова помилка — трактувати підвищення надійності як автоматичне поліпшення тесту.
Надійність стосується стабільності й частки невипадкової варіативності результатів у визначеній моделі вимірювання. Валідність стосується того, чи обґрунтовані висновки, які роблять на основі цих результатів.
Можна створити довгий і внутрішньо дуже узгоджений тест, який багато разів запитує майже одне й те саме. Надійність при цьому може зростати, але змістове покриття конструкта не обов’язково стане кращим. Надмірна повторюваність навіть може зробити інструмент вузькішим.
Формула Спірмена–Брауна також нічого сама по собі не говорить про:
факторну структуру;
одномірність;
справедливість вимірювання для різних груп;
відсутність систематичної похибки;
клінічну або практичну корисність;
валідність інтерпретації балів.
Чи існує «достатня» надійність
У навчальних матеріалах часто зустрічаються універсальні пороги на кшталт «0,70 — достатньо», «0,80 — добре», «0,90 — відмінно». Такі числа можуть бути корисними як грубі орієнтири, але не є природними законами психометрії.
Вимоги залежать від мети. Для дослідницького порівняння груп допустима невизначеність може бути однією, а для рішення з серйозними наслідками щодо конкретної людини — значно меншою. Важливі також діапазон балів, вибірка, тип похибки й спосіб використання результату.
Тому формулу Спірмена–Брауна краще використовувати не для механічного досягнення магічного числа, а як частину планування вимірювання.
Історія: дві сусідні статті 1910 року
Чарльз Спірмен опублікував у жовтні 1910 року статтю Correlation Calculated from Faulty Data у British Journal of Psychology, том 3, випуск 3, сторінки 271–295. У ній окремий розділ присвячено тому, наскільки можна збільшити надійність, збільшуючи кількість вимірювань.
Одразу після неї, на сторінках 296–322 того самого випуску, вийшла стаття Вільяма Брауна Some Experimental Results in the Correlation of Mental Abilities. Браун незалежно вивів залежність для об’єднання двох тестів, а потім узагальнив її на n тестів.
Сучасний історичний огляд Oxford Academic спеціально звертає увагу на курйоз наслідків такого сусідства: подвійна назва формули може створювати враження, ніби Спірмен і Браун були співавторами. Насправді це дві окремі публікації з незалежними виведеннями.
Тому історично точніше писати: формулу незалежно розробили Чарльз Спірмен і Вільям Браун у 1910 році.
Чому формулу називають прогностичною
Англомовні назви Spearman–Brown prediction formula і Spearman–Brown prophecy formula відображають її головне практичне застосування: за початковою надійністю прогнозувати, що станеться після зміни кількості порівнюваних вимірювань.
Українською природно використовувати «формула Спірмена–Брауна» або, коли потрібно підкреслити функцію, «прогностична формула Спірмена–Брауна».
Слово «прогностична» не означає прогноз поведінки людини. Йдеться лише про математичний прогноз надійності вимірювання за визначених припущень.
Два завдання, які не слід змішувати
Формула використовується щонайменше у двох близьких, але різних ситуаціях.
Перша — планування довжини. Ми маємо оцінку надійності поточної форми й хочемо спрогнозувати наслідки подовження або скорочення.
Друга — метод розщеплення. Ми вже поділили один тест на дві частини, отримали кореляцію між ними й хочемо оцінити надійність повної довжини.
Математична логіка споріднена, але вихідні коефіцієнти мають різний зміст. У звіті варто прямо зазначати, для якого саме завдання застосовано формулу.
Поширені помилки
Помилка 1. Називати Спірмена і Брауна співавторами
Вони опублікували дві різні статті в одному випуску журналу. Коректне формулювання — незалежні виведення 1910 року.
Помилка 2. Плутати формулу з ранговою кореляцією
Спірмен–Браун — про надійність і довжину вимірювання. ρₛ Спірмена — про монотонну асоціацію рангів.
Помилка 3. Використовувати кореляцію половин як надійність повного тесту без поправки
Кореляція двох половин стосується коротших форм. Якщо модель методу розщеплення виправдана, її перераховують для повного тесту.
Помилка 4. Механічно подовжувати тест
Додавання слабких, дублюючих або змістово інших завдань може порушити припущення формули. Арифметичний прогноз не замінює нової валідації форми.
Помилка 5. Ігнорувати спосіб розщеплення
Різні поділи можуть давати різні результати. Необхідно описувати правило розподілу завдань на половини.
Помилка 6. Вважати високу надійність доказом валідності
Навіть коефіцієнт 0,95 не доводить, що тест вимірює потрібний конструкт або що його результати можна використовувати для конкретного рішення.
Помилка 7. Вважати 0,70 універсальною межею
Прийнятний рівень залежить від мети, дизайну й наслідків використання результатів.
Короткий алгоритм застосування
Якщо ви плануєте змінити довжину тесту:
визначте вихідну оцінку надійності;
задайте k як відношення нової довжини до початкової;
переконайтеся, що додані або вилучені компоненти залишаються психометрично порівнюваними;
обчисліть прогноз за формулою Спірмена–Брауна;
після створення нової форми перевірте її надійність емпірично, а не покладайтеся лише на прогноз.
Якщо ви використовуєте метод розщеплення:
обґрунтуйте спосіб поділу тесту;
обчисліть бали двох половин;
оцініть їхній зв’язок;
перевірте, чи відповідають половини потрібній моделі еквівалентності;
лише після цього обирайте Спірмена–Брауна або інший відповідний коефіцієнт.
Поширені запитання
Для чого потрібна формула Спірмена–Брауна?
Вона дає змогу за визначеної психометричної моделі оцінити, як зміниться надійність при зміні кількості порівнюваних вимірювань або довжини тесту. Також її використовують для перерахунку кореляції паралельних половин в оцінку надійності повного тесту за методом розщеплення.
Що означає k у формулі?
Це коефіцієнт зміни довжини. Наприклад, 2 означає подвоєння, 1,5 — збільшення на 50 %, а 0,5 — скорочення вдвічі.
Чи можна за формулою скорочувати тест?
Так. Для 0 < k < 1 формула прогнозує зниження надійності після скорочення. Але скорочену форму все одно потрібно досліджувати окремо.
Чи є Спірмен–Браун коефіцієнтом кореляції?
У застосуванні методу розщеплення результат часто називають коефіцієнтом надійності Спірмена–Брауна, але це не те саме, що ранговий коефіцієнт ρₛ Спірмена.
Чи можна застосувати формулу до двох завдань?
Для двокомпонентної шкали формула Спірмена–Брауна може бути змістовною оцінкою внутрішньої надійності, якщо модель двох компонентів відповідає задачі. У спеціальній літературі для двох пунктів часто рекомендують коефіцієнт Спірмена–Брауна замість механічного перенесення багатокомпонентних показників.
Чи завжди довший тест надійніший?
За класичною моделлю додавання порівнюваних вимірювань підвищує надійність. Але реальний тест може порушити цю модель: нові завдання можуть бути іншої якості, вимірювати додаткові фактори або змінювати поведінку респондентів.
Чи замінює формула альфа Кронбаха?
Ні. Це різні інструменти з різними постановками. Вибір залежить від структури тесту й моделі надійності.
Джерела
1. Spearman C. Correlation Calculated from Faulty Data. British Journal of Psychology. 1910;3(3):271–295. DOI 10.1111/j.2044-8295.1910.tb00206.x. DOI
2. Brown W. Some Experimental Results in the Correlation of Mental Abilities. British Journal of Psychology. 1910;3(3):296–322. DOI 10.1111/j.2044-8295.1910.tb00207.x. DOI
3. The History of Educational Measurement. Oxford Academic, 2026: історія формули, послідовність двох статей 1910 року та питання атрибуції. Oxford Academic
4. Computational Psychometrics. Розділ про надійність: загальна формула Спірмена–Брауна, зміна довжини тесту та метод розщеплення тесту. Computational Psychometrics
5. Feldt LS, Charter RA. Estimating the reliability of a test split into two parts of equal or unequal length. Psychological Methods. 2003;8(1):102–109. PubMed
6. Eisinga R, te Grotenhuis M, Pelzer B. The reliability of a two-item scale: Pearson, Cronbach, or Spearman-Brown? International Journal of Public Health. 2013;58(4):637–642. PubMed
7. Cronbach LJ. Coefficient alpha and the internal structure of tests. Psychometrika. 1951;16:297–334. DOI 10.1007/BF02310555. DOI
8. Ellis JL. Reliability of sum scores under random item sampling: the Spearman–Brown formula and its generalizations. Psychometrika. 2024. PMC
Матеріал Українського психологічного ХАБу має освітню мету. У прикладній психометрії вибір коефіцієнта надійності та інтерпретацію його величини слід узгоджувати з моделлю вимірювання, структурою конкретного тесту, вибіркою та метою використання результатів.